Vzťahy medzi koreňmi a koeficientami kvadratickej rovnice




Veta

Veta o vzťahoch medzi koreňmi a koeficientami kvadratickej rovnice
Ak má kvadratická rovnica ax² + bx + c = 0, a, b, c Î R, (a ą 0) ,korene x₁,x₂, tak pre ne platí :

x1 + x2 = -b/a,	[1] (Vietove vzorce)
x1 . x2 = c/a

Dôkaz

  je jednoduchý. Pretože x₁, x₂ sú korene kvadratickej rovnice, tak podľa

vzorca  x_1,2 = pre ne platí : x₁ = ,x₂ = Teda platí :

x1 + x2 = + =

x1 . x2 = . = = =


Tým je platnosť vzťahov dokázaná.

---




Pr.


Zostavte kvadratickú rovnicu s koreňmi x₁ = -2, x₂ = 5
Riešenie:   Podľa vzťahov [1] platí : -b/a = -2 + 5 = 3,       c/a = (-2).5 = -10 Po dosadení do x² + x(b/a) + c/a = 0 dostaneme x² + (-3).x - 10 = 0
alebo
x² -3x - 10 = 0 Po vyriešení tejto rovnice dostanete presne korene -2 a 5. Kvadratická rovnica
x² - 3x - 10 = 0 nie je jediná , ktorá má korene -2, 5. Tieto korene má každá kvadratická rovnica, ktorá je jej k-násobkom ( kÎR, ką 0), napríklad rovnice
5x² - 15x - 50 = 0, -x² + 3x + 10 = 0.
Všetky tieto rovnice sa dajú upraviť na rovnicu x² - 3x - 10 = 0.
Výsledok:  Riešením úlohy sú všetky rovnice, ktoré sú nenulovým reálnym násobkom rovnice x² - 3x - 10 = 0.

---

Úvodná stránka

Obsah

Záverečný test

---