Ale čo je to vlastne diskriminant?
Pre kvadratickú rovnicu ax2 + bx + c = 0 , kde a,b,c sú z R a a ą 0, je diskriminant číslo D = b2 - 4ac. Uvidíte ďalej, prečo práve takýto výraz.
Budeme upravovať kvadratický trojčlen ax2 + bx + c tak, aby sme sa dopracovali ku koreňom kvadratickej rovnice. Bude potrebné doplniť kvadratický trojčlen na "úplný štvorec" , teda na druhú mocninu , ale vyžaduje to umelý krok, a to pripočítanie a hneď aj odpočítanie toho istého výrazu, takže vlastne pripočítanie nuly. Uvidíte ale , že to bude na niečo dobré (v priebehu úprav môžte zistiť, prečo sme diskriminantom označili práve b2 - 4ac a aký má význam) :
| ax2 + bx + c | = | 0 | |:a
| x2 + |  + 
=
| 0
| | nasleduje umelý krok
| x2 + |  +  - +
=
| 0
| | použijeme vzorec | A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 |  - + 
=
| 0
|
| | - 
=
| 0
| | na tomto mieste sa objavil už spomínaný
diskriminant. Označíme ho D = b2 - 4ac
| | - 
=
| 0
| |použijeme platný vzorec | A2 - B2 = (A + B).(A - B) (x + |  -  ).(x + + )
=
| 0
|
| |
Súčin dvoch čísel = 0 práve vtedy, keď sa aspoň jedno z týchto čísel = 0. Preto
 ).(x +  ) = 0
Ű x + = 0
Ú
x + = 0
x =  Ú x = 
|
Vidíme, že rovnica má riešenie v množine reálnych čísel, len ak diskriminant je nezáporný.
Na základe vypočítaného už môžme vysloviť vetu :
| Veta |
Nech ax2 + bx + c = 0 je ľubovoľná kvadratická rovnica s reálnymi koeficientami
a,b,c , (a ą 0) a diskriminantom D. Pre počet riešení kvadratickej rovnice v R môžu nastať tieto tri prípady:
| ak D > 0, | K = 
,dva rôzne korene
|
| ak D = 0, | K = 
, jeden dvojnásobný koreň
|
| ak D < 0, | K = { }, žiaden koreň |
Teda pre reálne korene kvadratickej rovnice ax2 + bx + c = 0 , kde a,b,c sú z R
(a ą 0 ) s diskriminantom D ł 0 platí :
x1,2 =
|
| [1] |
Pre efektívne riešenie kvadratických rovníc je užitočné poznať vzťahy medzi koreňmi a koeficientami kvadratickej rovnice
| Pr. |
Riešte rovnicu s neznámou x z množiny R: 15x2 - 38x + 24 = 0
Riešenie: Koeficienty tejto rovnice sú a = 15, b = -38, c = 24. Reálne korene vypočítame použitím predchádzajúceho vzorca [1]
Najprv zistíme , aký je diskriminant.
D = b2 - 4ac = 382 - 4.15.24 = 1444 - 1440 = 4.
4 > 0 Ţ rovnica má dva rôzne korene x1,x2 (podľa vety o riešiteľnosti KR ). Vypočítame ich využitím spomínaného vzorca :
x1 = 4/3, x2 = 6/5
Skúška: Dosadením do pôvodnej rovnice.
Výsledok: K = {4/3,6/5}
