Rozklad kvadratického trojčlena na súčin lineárnych dvojčlenov
Ak ste preskočili pasáž o vzťahoch medzi koreňmi a koeficientami kvadratickej rovnice a tieto vzťahy ešte nepoznáte,
je potrebné sa k nim na tomto mieste vrátiť, pretože sú nevyhnutné pre použitie tejto metódy riešenia rovníc.
Odskočte si teda, ak je to potrebné, na chvíľku na tzv. Vietove vzorce.
Veta o rozklade kvadratického trojčlena na súčin lineárnych
dvojčlenov
Ak má kvadratická rovnica ax2 + bx + c = 0 korene x1,x2,
potom sa dá kvadratický trojčlen ax2 + bx + c rozložiť na súčin lineárnych dvojčlenov
x - x1 ,
x - x2
(nazývajú sa koreňové činitele ) :
ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2),
takže danú kvadratickú rovnicu môžme vyjadriť v tvare
a(x - x1)(x - x2) = 0
Ű(x - x1)(x - x2) = 0 n
Dôkaz tejto vety je jednoduchý. Stačí roznásobiť ľavú stranu rovnice :
a(x2 - xx1 - xx2 + x1x2) = 0
a(x2 - x(x1 + x2) + x1x2) = 0
Podľa Vietových vzorcov platí :
x1 + x2 = -b/a, x1 . x2 = c/a + c/a) = 0
ax2 + bx + c = 0
Tým je platnosť vety dokázaná.
Zistite, aké má daná kvadratická rovnicu riešenie v obore R :
x2 - 6x - 27 = 0
Riešenie:
Použitím Vietových vzorcov a
predchádzajúcej vety rozložíme kvadratický trojčlen na súčin.
6 = x1 + x2 a -27 = x1.x2.
Odhadneme
6 = 9 + (-3) Ů
-27 = 9.(-3), takže
x2 - 6x - 27 = (x - 9)(x + 3)
Výsledok:
Koreňmi kvadratickej rovnice sú teda x1 = 9, x2 = -3.
Úvodná stránka
Obsah
Záverečný test