Rovnice všeobecne.


       Veľa fyzikálnych, technických a iných úloh aj zo života sa dá matematicky formulovať ako úloha tohto typu:
      Sú dané dva výrazy L(x),P(x) s premennou x . Úlohou je určiť hodnoty tejto premennej z daného číselného oboru M, pre ktoré sa rovnajú hodnoty oboch výrazov. Zápis tejto úlohy v tvare:
L(x)=P(x)

sa nazýva rovnica.
      
Výrazu L(x) sa hovorí ľavá strana rovnice ,
výrazu R(x) pravá strana rovnice.
Špeciálne môže byť jedna strana rovnice konštanta.
Ak je to nula hovoríme o anulovanom tvare rovnice.
Premenná x sa nazýva     neznáma (K označeniu sa používajú aj iné písmená, najmä z konca abecedy.)
Hodnoty neznámej, pre ktoré je rovnica splnená (tz. L(x)=P(x)) sa nazývajú
                                          korene rovnice.
Čiselný obor M , v ktorom hľadáme korene rovnice, nazývame
                                          oborom riešenia rovnice .
Je veľmi dôležité uvedomiť si, v akom obore hľadáme riešenie. Tá istá rovnica môže mať v rôznych oboroch rôzne riešenia.
Napríklad rovnica 3x = 10 má v obore reálnych čísel jeden koreň 10/3, ale v obore prirodzených čísel už riešenie nemá.
Podmnožina množiny M , v ktorej sú definované výrazy L(x) a P(x) sa nazýva
                                          definičný obor rovnice D .
Písmenom K (K Í D) budeme označovať
                                          množinu všetkých koreňov (riešení) rovnice.

Postup riešenia rovnice:
Skladá sa z troch častí zvaných rozbor, záver rozboru , skúška .
    1. Rozbor: Úpravami danej rovnice získame rovnicu, ktorej korene ľahko zistíme, pričom úpravy musia mať tú vlastnosť, že každý koreň danej rovnice je tiež koreňom rovnice získanej úpravou. Týmto úpravám hovoríme dôsledkové úpravy (DU) . (Žiadne korene nestrácame, ale môžu nejaké pribudnúť, preto je potrebné urobiť skúšku a prípadné nadbytočné korene nevyhovujúce pôvodnej rovnici vylúčiť z množiny riešení rovnice.)
    Z dôsledkových úprav sú zvlášť dôležité tzv. ekvivalentné úpravy (EU). Sú to také úpravy danej rovnice, ktoré ju prevádzajú na rovnicu, ktorej množina všetkých koreňov sa rovná množine všetkých koreňov danej rovnice (Žiadny koreň neubudne ani nepribudne). Rovnice sú navzájom ekvivalentné.
Odporúčame vám, pokiaľ je to možné, používať výlučne ekvivalentné úpravy. Nevznikajú tak nadbytočné korene, ktoré by museli byť vylúčené skúškou.
    2. Záver rozboru: Určíme množinu M' všetkých koreňov rovnice získanej DU a EU. Množina M'Í M predstavuje všetky možné riešenia danej rovnice.
    3. Skúška: Zistíme, ktoré z prvkov množiny M' sú koreňmi danej rovnice. Každý prvok množiny M' dosadime do L(x), čím dostaneme nejaké číslo. To isté urobíme s pravou stranou rovnice a ak potom ľavá strana rovnice nadobúda rovnakú hodnotu ako pravá, je dosadené číslo koreňom danej rovnice. Získame množinu K všetkých koreňov rovnice.
Skúška je nevyhnutnou súčasťou riešenia, ak neboli všetky úpravy ekvivalentné.

Pr.

  Príklady rovníc :

  1. 3x = 15 s neznámou x Î R
    1. neznáma x
    2. L(x) = 3x, P(x) = 15
    3. M=R, D=R
    4. 3x = 15    |:3  (EU 4)
        x = 5
      K={5}
  2. 7(x - 2) + 5 = 2(x - 3) + 5x - 3 s neznámou x Î R
    1. neznáma x
    2. L(x) = 7(x - 2) + 5, R(x) = 2(x - 3) + 5x - 3
    3. M=D=R

    4. 7(x - 2) + 5 = 2(x - 3) + 5x - 3
      7x - 14 + 5 = 2x - 6 + 5x - 3
      7x - 9 = 7x - 9
      Vidíme, že výraz na ľavej strane sa vždy rovná výrazu na pravej strane. Teda po dosadení ľubovoľného reálneho čísla za x sa L(x) = P(x).
      Preto K=R
Úvodná stránka Obsah Záverečný test