Lineárne rovnice s absolútnou hodnotou

Lineárnou rovnicou s absolútnou hodnotou nazývame každú rovnicu (s neznámou xÎR) tvaru
|a₁x + b₁| + |a₂x + b₂| + ... + |a_nx + b_n| = |a₀x + b₀|,
kde a_i,b_i(i=0,1,2,...,n) sú dané reálne čísla, a_ią 0 pre i=1,2,...,n.

Existuje niekoľko metód pre riešenie takéhoto typu rovníc :
• Metóda nulových bodov (metóda intervalov)
• Grafická metóda
• Geometrická metoda

Metóda nulových bodov :
Rovnica sa rieši úpravou na lineárne rovnice bez absolútnej hodnoty v intervaloch, na ktoré je rozdelená množina R nulovými bodmi. Nulové body sú čísla, pre ktoré sa
a_ix + b_i = 0, teda čísla  -b_i/a_i  , pre i = 1,2,...,n. V týchto bodoch sa mení znamienko výrazu v absolútnej hodnote, preto aj úprava absolutnej hodnoty.
Ak x > 0 ,potom |x| = x
Ak x < 0 ,potom |x| = -x
Ak x = 0 ,potom |x| = 0


Pr.


Riešte v R rovnicu :      |x + 2| + |x - 2| = 8.
Riešenie:
Určíme nulové body výrazov  x + 2  a   x - 2 . Teda zistíme, pre ktoré hodnoty premennej x sa  x + 2 = 0  a  x - 2 = 0 .  Označíme  x₁ = -2,  x₂ = 2  (x₁ < x₂) Množina R je nimi rozdelená na intervaly :

I1 = (-Ą, -2)

I2 = < -2, 2 >

I3 = (2, +Ą),

na ktorých je možné danú rovnicu s absolútnymi hodnotami upraviť na rovnice bez absolútnych hodnôt. Stačí určiť znamienka ľubovoľných hodnôt dvojčlenov x + 2,
x - 2 vo vnútri intervalov I₁,I₂,I₃ :

x	(-Ą, -2)	(-2, 2)	(2, +Ą)
x + 2	-	+	+
x - 2	-	-	+


Odtiaľ vyplýva :
1. Pre xÎI₁ = (-Ą, -2) je |x + 2| = -x - 2, |x - 2| = -x + 2 a daná rovnica nadobúda tvar -x - 2 + (-x + 2) = 8 Jej koreňom je číslo x = -4ÎI₁, a teda K₁ = {-4}
2. Pre xÎI₂ = < -2, 2 > je |x + 2| = x + 2, |x - 2| = -x + 2 a daná rovnica nadobúda tvar x + 2 + (-x + 2) = 8
   4 = 8 Rovnica nie je splnená pre žiadne reálne x, a teda K₂ = Ć
3. Pre xÎI₃ = (2, +Ą) je |x + 2| = x + 2, |x - 2| = x - 2 a daná rovnica nadobúda tvar x + 2 + x - 2 = 8 Jej koreň x = 4 patrí do intervalu I₃, a teda K₃ = {4}
Výsledok: K = K₁ Č K₂ Č K₃. K = {4, -4}

metódy

---


Grafická metóda :
Niektoré rovnice môžme riešiť tak, že zostrojíme graf funkcie na ľavej strane rovnice a graf funkcie na pravej strane rovnice. X-sové súradnice priesečníkov grafov sú koreňmi rovnice.


Pr.


Riešte v R rovnicu :      |5 - x| = |x + 4|.
Riešenie:
Zostrojíme grafy funkcií f : y = |5 - x| a g : y = |x + 4| . Súradnice x ich priesečníkov sú korene danej rovnice.

Postupnosť zostrojovania grafov :
1. Zostojíme graf funkcie f₁:y = 5 - x
2. Zostojíme graf funkcie f₂:y = |5 - x|
3. Zostojíme graf funkcie f₃:y = x + 4
4. Zostojíme graf funkcie f₄:y = |x + 4|


Riešením sú priesečníky grafov funkcií f₂ a f₄.
K = { }



metódy

---


Geometrická metóda :
Geometrickou metódou riešime zväčša rovnice tvaru |x + a| = b, b ł 0. Vychádzame z číselnej osi. Platí, že riešením rovnice sú tie body na číselnej osi, ktorých vzdialenosť od bodu -a je b.
|x + a| = b Ű x + a = b Ú x + a = -b Ű x = -a + b Ú x = -a - b, teda odtiaľ vidíme, čo sme už povedali. -a + b znamená, že sa posunieme od bodu -a na číselnej osi do prava o b a -a - b znamená posun o b do ľava.


Pr.


Riešte v R rovnicu :      |x + 2| = 3.
Riešenie:
Od bodu -2 vo vzdialenosti 3 sa nachádza bod -2 + 3 = 1 a -2 - 3 = -5.
Výsledok: K = {-5, 1}

metódy




---

Úvodná stránka

Obsah

Záverečný test

---