Daniela Tokárová: TEÓRIA DÚHY  

Dúha nesporne patrí k najnápadnejším a najkrajším prírodným úkazom. O jej popis sa oddávna usilovali básnici i vedci. Fyzikálne vysvetlenie dúhy sa pritom často považuje za jednoduchý problém geometrickej optiky, ktorý bol už dávno vyriešený a dnes môže byť zaujímavý iba z hľadiska histórie. V skutočnosti to tak nie je – uspokojivá teória dúhy bola vybudovaná iba nedávno. Táto teória potrebuje omnoho viac než obyčajnú geometrickú optiku – využíva aj vlnové vlastnosti svetla, ako je interferencia, difrakcia a polarizácia, aj jeho korpuskulárne vlastnosti, napr. hybnosť svetelného zväzku.

Z histórie o popisovaní dúhy

Prvý pokus vysvetliť jav dúhy patrí pravdepodobne Aristotelovi (4. stor. pred n. l.). Vyslovil názor, že dúha je zvláštnym druhom odrazu slnečného svetla od mrakov. Pretože svetlo sa odráža pod určitým konštantným uhlom, vzniká kruhový kužeľ „dúhových lúčov“. Aristoteles tak správne objasnil kruhový tvar oblúka. Tiež postrehol, že nejde o materiálny objekt v danom mieste oblohy, ale o súhrn smerov, v ktorých je svetlo rozptyľované do oka pozorovateľa.

Uhol medzi lúčami dúhy a dopadajúcimi lúčami slnečného svetla po prvýkrát zmeral Roger Bacon v r. 1266. Zistil uhol približne 420 . Dnes je zvykom merať tento uhol od opačného smeru, takže sa udáva celková zmena smeru slnečných lúčov (Obrázok 2).

Od Aristotelovej domnienky uplynulo takmer sedemnásť storočí, než bol v teórií dúhy vykonaný ďalší podstatný pokrok. V roku 1304 nemecký mních Theodorik z Freibergu zavrhol Aristotelovu hypotézu, že dúha je dôsledkom hromadného odrazu svetla od vodných kvapiek v mraku. Tvrdil, že dúhu dokáže vytvoriť každá vodná kvapka sama o sebe. Dokonca túto ideu experimentálne overil so zväčšenou vodnou kvapkou – použil fľaše tvaru gule naplnené vodou.

Theodorikove zistenia zostali zabudnuté tri storočia, až kým ich nezávisle na ňom urobil René Descartes (17. stor. n. l.). Ten použil rovnakú metódu. Theodorik i Descartes si tiež všimli, že v každom smere v uhlovom rozmedzí dúhy môžeme vo svetle rozptýlenom guľou vidieť len jednu farbu. Z toho Theodorik a Descartes usúdili, že každá farba v dúhe pochádza z iných vodných kvapiek.

Na základe svojich meraní indexu lomu vypočítal Issac Newton (17. stor. n. l.) uhol medzi lúčami dúhy (Obrázok 2) pre červené a pre fialové svetlo. Rozdiel medzi týmito uhlami by mohla byť uhlová šírka dúhy, keby boli slnečné lúče rovnobežné. S uvážením zdanlivého priemeru slnka dostal Newton celkovú oblúkovú šírku dúhy 2° 15^/. S týmto výsledkom boli jeho vlastné merania v dobrej zhode.

Descartes s Newtonom dokázali vysvetliť všetky nápadnejšie charakteristické rysy dúhy. Objasnili existenciu primárneho a sekundárneho oblúka i tmavého pásu, ktorý ich oddeľuje. Vypočítali ich uhlovú polohu a popísali disperziu rozptyleného svetla do spektrálnych farieb. Ich teória však mala jeden podstatný nedostatok – nevedela vysvetliť tzv. nadpočetné prúžky, ktoré sa vyskytujú na vnútornej strane primárnej dúhy.

Optický jav objasňujúci vznik nadpočetných prúžkov objavi v r. 1803 Thomas Young. Ukázal, že svetlo môže vykazovať interferenciu, čiže jav, ktorý bol už vtedy známy. Youngova interferenčná teória dúhy dokázala teda vysvetliť všetky podstatnejšie rysy dúhy. Stále však chýbala matematická teória schopná predpovedať intenzitu rozptyleného svetla ako fukciu veľkosti kvapiek a rozptylového uhla.

V roku 1835 poukázal Richard Potter na to, že pretínaním rôznych sústav lúčov v kvapke vznikajú tzv. kaustické krivky. Kaustika predstavuje obálku sústavy lúčov a je vždy spojená so zosilnením intenzity svetla. A tak stanovenie intenzity rozptyleného svetla v dúhe je podobné riešeniu problému nájdenia priebehu intenzity v blízkosti kaustiky.

V roku 1838 sa pokúsil určiť tento priebeh Potterov kolega George B. Airy. Jeho úvaha bola založená na princípe šírenia vĺn sformulovanému v 17. storočí Christianom Huygensom a prepracovanom neskoršie A. J. Fresnelom. Airy dokázal vyjadriť intenzitu rozptyleného svetla v dúhe pomocou novej matematickej funkcie – dnes nazývanej Airyho funkcia. Matematický tvar tejto funkcie je zložitý.

Analógiu medzi geometrickou optikou a klasickou mechanikou častíc postrehol írsky matemetik W. R. Hamilton už v roku 1831. Lúčom v geometrickej optike sú analogické trajektórie častíc. Zmene smeru svetelného lúča pri vstupe do prostredia s iným indexom lomu odpovedá odchýlenie pohybujúcej sa častice pôsobením síl.

Uvažujme vzájomnú zrážku dvoch atómov plynu, ktoré sa k sebe približujú z počiatočne veľkej vzdialenosti. Najprv sú k sebe priťahované stále silnejšie. Akonáhle sa však k sebe priblížia, začnú sa prekrývať ich elektrónové obaly a príťažlivé sily klesajú. V tesnej blízkosti potom naopak dôjde k rastúcemu odpudzovaniu. Rovnako ako v prípade optiky môžeme atómový rozptyl analyzovať sledovaním dráhy atómov v závislosti od zameriavacieho parametra (Obrázok 6). Vlnovo-mechanické chápanie atómovej a jadrovej dúhy formulovali v roku 1959    K. W. Ford a J. A. Wheeler. V dôsledku interferencie medzi atómami vystupujúcimi po trajektóriách v tom istom smere vznikajú nadpočetné maximá intenzity. Pre rozptyl častíc bola tiež odvodená analógia Airyho teórie.

Atómovú dúhu po prvýkrát pozorovali E. Hundhausen a H. Pauly v roku 1964 pri rozptyle vodíkového atómu na atómoch orute.

Je iróniou, že tak zložitý problém ako je dúha, má v skutočnosti presné riešenie. Toto riešenie je dlhé roky už známe. Akonáhle J. C. Maxwell predložil zhruba pred sto rokmi elektromagnetickú teóriu svetla, bolo možné problém optickej dúhy presne matematicky formulovať. Ide o rozptyl elektromagnetic­kého vlnenia na homogénnej guli.

Základné princípy vzniku dúhy

Žiariaci oblúk, ktorý pozorujeme pri daždi na oblohe alebo vo vodnej  triešti vodopádu, predstavuje primárnu dúhu (Obrázok 1). Jej najnápadnejším rysom je farebnosť. Jas a zreteľnosť farebných pásov sa môže značne meniť, ale poradie farieb zostáva stále rovnaké: najvnútornejšia je fialová a tá prechádza postupne do rôznych odtieňov modrej, zelenej, žltej a  oranžovej, až na vonkajšom okraji je červená     (Obrázok 3).

Hlavné Rysy dúhy je možné pochopiť na základe úvah o svetle prechádzajúcom jednou vodnou kvapkou. Základné princípy, ktoré určujú ich podstatu, sú zákony odrazu a lomu svetla. Predbežný rozbor dúhy spočíva v ich aplikácií na prechod svetelného lúča kvapkou vody.

Slnečné svetlo vstupuje do dažďovej kvapky (Obrázok 4) v bode A pod uhlom dopadu a ( vzhľadom k normále ). Tu sa láme ku kolmici pod uhlom b. Tým sa odchyľuje od pôvodného smeru o uhol (a - b). Ak lúč svetla dopadne na povrch kvapky v bode B pod uhlom väčším ako je hraničný uhol, odrazí sa späť dovnútra kvapky. Keďže je trojuholník AOB rovnoramenný, je uhol medzi úsečkou AB a normálou v bode B tiež b.

Tento vnútorný odraz spôsobí ďalšie odchýlenie o uhol (1800 - 2b) od smeru úsečky AB. Lúč potom dopadne na povrch kvapky v bode C znova pod uhlom b (vzhľadom k normále). Tam sa lúč láme a vychádza z kvapky pod tým istým uhlom a, ako do nej vstupo­val. A znova spôsobuje odchýlenie o uhol (a - b). Celkový rozptylový uhol g (Obrázok 5) je potom daný vzťahom:

( 1 )

Na každej kvapke prebieha jav disperzie. Pritom sa fialová zložka bielého svetla láme najviac a červená najmenej. Pretože počítame s kvapkou guľového tvaru, sú všetky smery dopadajúceho lúča vzájomne ekvivalentné. Tak v úlohe vystu­pu­je len jediná premenná: vzdialenosť lúča od osi prechádzajúcej rovnobežne s ním stredom kvapky. Túto vzdialenosť nazveme zameriavacím parametrom (Obrázok 6) . Mení sa od nuly, kedy lúč splýva s osou kvapky, až do jej polomeru, kedy je jeho dotyčnicou.

Na povrchu kvapky sa dopadajúce lúče čiastočne odrážajú a toto odrazené svetlo označíme ako rozptýlené svetlo 1. triedy.  Zvyšné lúče vnikajú do kvapky a pri ďalšom stretnutí sa s rozhra­ním znova čiastočne prechádzajú (lúče 2. triedy) a čiastočne sa odrážajú. Pri nasledujú­com dopade na rozhranie sa odra­zené lúče znova delia na odrazenú a prechá­dzajúcu zložku, a to sa opakuje do nekonečna. Kvapka vody teda postupne umožňuje vznik jednotlivým triedam rozptylených lúčov. Ich intenzita obvykle rýchlo klesá.

Lúče 1. triedy predstavu­jú priamy odraz od kvapky. Lúče 2. triedy cez kvapku priamo pre­chádzajú. Lúče 3. triedy, ktoré vychádzajú z kvapky po jedinom vnútornom odraze, tvoria primárnu dúhu. Z lúčov 4. triedy, ktoré podstupujú dva vnútorné odrazy, vzniká sekundárna dúha. Dúhy vyšších rádov sú tvorené lúčmi s ešte zložitejším priechodom kvapkou, ale nie sú spravidla viditeľné.

Po jednom vnútornom odraze je rozptylový uhol daný vzťahom (1). Pre minimálny rozptylový uhol výpočty ukazujú, že dg/da alebo dg/db musí byť rovná nule. Teda

  a tiež ( 2 )

  Zo Snellovho zákona je zrejmé, že platí vzťah:

( 3 )

kde n je index lomu vody. Diferencovaním tohoto vzťahu podľa b dostaneme:

alebo

 ( 4 )

s ohľadom na substitúciu vo vzťahu (2). Umocnením a využitím vzťahov (3) a (4) dostávame nový vzťah

vzhľadom na to , že  sin2b+cos2b = 1. Použitím ekvivalentného vzťahu cos2a=sin2–1 na pravej strane rovnosti (5) získame vzťah:

z ktorého vyplýva: ( 6 )

  To je sínus uhla dopadu, pri ktorom nastáva minimálny rozptylový uhol a vzniká najkrajšia dúha. Maximálny rozptylový uhol môže byť 180° (kedy a = 0° čiže lúč  dopadá v smere normály a tiež b = 0°). Vtedy sa lúč odráža od povrchu kvapky priamo späť k slnku. Vykonaním vhodnej substitúcie a dosadením do  rovnosti (6), dostávame pre uhol dopadu    59,65° minimálny rozptylový uhol pre červenú zložku 137,3° a fialovú 139,2°. Ale dúhu nemôžeme spozorovať  s hodnotami rozptylového uhla v rozpätí od 180° do tohoto minima. Preto je nutné nasledujúce vysvetlenie. 

S ohľadom na rovnosť (1) a využitím Snellovho zákona, dostaneme vzťah:

Funkčná závislosť rozptylového uhla g na uhle dopadu a (Obrázok 7) ukazuje, že pre široký rozsah hodnoty a sa lúče odchyľujú blízko mini­ma  rozptylového uhla. Obrázok 8 ukazuje, že tento minimálny rozptylový uhol zapríčiňuje vznik primárnej dúhy . Fialový kruh v dúhe sa formuje z polkužeľa s uhlom 180° – 139,2° =  40,8° a červený o uhle 42,7° vzhľadom k priamému slnečnému lúču.

Sekundárnu dúhu môžeme pozorovať na oblohe vyššie než sa nachádza primárna dúha. Charakterizuje ju opačné radenie farieb ako má primárna dúha (Obrázok 3) s červenou vo vnútri a fialovou vonku.

Pre rozptylový uhol, pri ktorom vzniká sekundárna dúha, platí g = 3600 + 2a - 6b a tak

( 7 )

Pre minimálny rozptylový uhol (znova má byť rovný nule) teraz dostávame da/db = 3. Analo­gicky získame vzťah pre uhol dopa­du, pri ktorom dochádza k mini­málnemu  rozptylovému uhlu pre sekundárnu dúhu:

( 8 )

Tieto  výsledky spôsobujú, že fialový kruh v sekundárnej dúhe vzniká z lúčov odchýlených o uhol 233,6° a červený o uhol 229,8°. To znamená, že fialovému polkužeľu prislúcha uhol 53,6° a červenému uhol 49,8°. Teda červená farba je teraz vo vnútri oblúka, čo je opačná situácia ako u primárnej dúhy.

Rozptylový uhol (Obrázok 9) každej triedy rozptylených lúčov sa mení v širokom rozmedzí ako funkcia zameriavacieho parametra. Pretože v slnečnom svetle je kvapka osvetľovaná lúčmi so všetkými hodnotami zameriavacieho parametra súčasne, je svetlo rozptyľované prakticky do všetkých smerov. Prečo je teda v blízkosti uhla pribli6ne 138° intenzita rozptyleného svetla tak zosilnená ? Odpoveď na túto otázku prvýkrát dal Descartes.

Aplikoval zákony odrazu a lomu v každom bode, kde sa lúč stretáva s rozhraním vzduch – voda a dôkladne vypočítal dráhy mnohých lúčov s rôznymi hodnotami zameriavacieho parametra. Prvoradý význam majú však lúče 3. triedy (primárna dúha).  Ak je zameriavací parameter rovný nule, je príslušný lúč rozptýlený pod uhlom 180°, t.j. späť k slnku (Obrázok 9) . Pritom prechádza stredom kvapky a odráža sa od najvzdialenejšieho bodu jej povrchu. S rastom zameriavacieho parametra sa dopadajúci lúč vzďaľuje od stredu a uhol rozptylu sa zmenšuje. Descartes však zistil, že tento trend nepokračuje až do maxima zameriavacieho parametra, kedy sa dopadajúci lúč dotýka povrchu kvapky ako jeho dotyčnica. Rozptylový uhol prechádza minimom pri hodnote zameriavacieho parametra zhruba 7/8 polomeru kvapky a potom opäť rastie. Tento minimálny rozptylový uhol je 138°.

U lúčov 4. triedy (sekundárna dúha) je pri nulovom zameriavacom parametre rozptylový uhol rovný nule. Stredový lúč sa dvakrát odráža a potom pokračuje v pôvodnom smere. S rastom zameriavacieho parametra rastie i rozptylový uhol, ale aj tu sa tento trend nakoniec obráti a to tentoraz pri uhle 130°. Lúče 4. triedy majú teda maximálny rozptylový uhol 130° a s ďalším rastom zameriavacieho parametra  sa vracajú späť bližšie k dopredu postupujúcemu rozptylovému smeru.

Alexandrov tmavý pás

Pri dôkladnom pozorovaní zistíme, že oblasť medzi oboma oblúkmi je značne tmavšia než zvyšná časť oblohy. Dokonca aj keď sekundárna dúha nie je postrehnuteľná, môžeme na okrajoch primárneho oblúka rozoznať svetlejšiu a tmavšiu „stranu“. Tmavá oblasť dostala názov Alexandrov tmavý pás podľa gréckeho filozofa Alexandra z Afrodisiady, ktorý ju po prvýkrát popísal asi r. 200 pred n. l.

Keďže kvapka vody je ožiarená slnečným svetlom rovnomerne, je rovnomerné i rozdelenie hodnôt zameriavacieho parametra vstupujúcich lúčov. Sústredenie rozptyleného svetla bude preto najväčšie v tom smere, v ktorom sa rozptylový uhol v závislosti na zameriavacom parametri mení najpomalšie (Obrázok 9). Inými slovami rozptylené svetlo je najintenzívnejšie tam, kde zhrňuje dohromady dopadajúce lúče z najväčšieho intervalu hodnôt zameriavacieho parametra. Oblasti najpomalšej zmeny sú v okolí maximálneho a minimálneho rozptylového uhla. Tým je vysvetlená výnimočnosť charakteristických uhlov primárnej a sekundárnej dúhy. A keďže žiadne z lúčov 3. a 4. triedy sa nerozptyľujú do uhlového sektora medzi 130° a 138°, tak vyniká v tomto uhlovom sektore tmavá oblasť. Tým je z podstatnej časti vysvetlené, prečo vzniká Alexandrov tmavý pás.

Nadpočetné prúžky

Len niekedy pozorovateľným rysom dúhy je rad nezreteľných prúžkov, obvykle striedavo ružových a zelených. Nachádzajú sa na vnútornej strane primárneho oblúka a ešte vzácnejšie sa môžu objaviť na vonkajšej strane sekundárneho oblúka. Tieto nadpočetné prúžky môžeme najlepšie pozorovať blízko vrcholu oblúka. V tejto uhlovej oblasti vystupujú v rovnakom smere vždy dva rozptylené lúče 3. triedy. Pochádzajú z dopadajúcich lúčov s hodnotami zameriavacieho parametra na opačných stranách od hodnoty odpovedajúcej dúhovému uhlu (Obrázok 9). A tak v ktoromkoľvek danom smere s uhlom trochu väčším, než je dúhový uhol, obsahuje rozptylené svetlo dva lúče, ktoré prešli kvapkou dvoma odlišnými cestami. Tieto lúče vystupujú z povrchu kvapky na dvoch rôznych miestach, ale ďalej postupujú v rovnakom smere. Tieto dva lúče spolu interferujú. Keďže rozptylové uhly sú určené rozdielom medzi dĺžkami dráh týchto lúčov, má na nich vplyv polomer kvapky.

Rozloženie nadpočetných prúžkov preto závisí na veľkosti kvapky. Vo väčších kvapkách rastie dráhový rozdiel so zameriavacím parametrom oveľa rýchlejšie ako v malých. A tak čím väčší sú kvapky, tým menší je uhlový rozostup nadpočetných prúžkov. 

Zhrnutie

Veľkosť vodných kvapiek má vplyv aj na iné hlavné rysy dúhy. Táto závislosť je zhrnutá v nasledujúcej tabuľke:  

  Keby sme sa na dúhu pozerali z lietadla, naskytol by sa nám zaujímavý pohľad (Obrázok 10). Videli by sme dúhu v tvare kruhu. Pozorovateľ na zemi vidí väčšinou iba určitú oblúkovú časť tejto kruhovej dúhy. Tvar dúhy závisí od polohy dažďových kvapiek voči pozorovateľovi. Zo zeme vidíme len časť nášho zorného kužeľa, lebo zvyšnú časť nám zakrýva zemský povrch. Z lietadla však môžeme vidieť celý zorný kužeľ a tým aj celú kruhovú dúhu.